Wektory - wprowadzenie

Zapamiętaj!

Wektory. Wektory oznaczamy tak... lub tak... Oznaczeń używamy wymiennie. Każdy wektor ma współrzędne, tzn. (na płaszczyźnie) dwie liczby rzeczywiste. Jeżeli np. dany jest wektor... to...

Wniosek

Współrzędne wektora otrzymujemy, odejmując od współrzędnych końca wektora współrzędne początku.

Wektory. Długość danego wektora obliczamy ze wzoru. Działania na wektorach... Suma wektorów to wektor o współrzędnych będących sumą współrzędnych wektorów składowych. Różnica wektorów to wektor o współrzędnych będących różnicą współrzędnych wektorów składowych. Iloczyn wektora przez liczbę rzeczywistą to wektor o współrzędnych będących iloczynem współrzędnych wektora i liczby. Iloczynem skalarnym dwóch niezerowych wektorów nazywamy liczbę rzeczywistą równą iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta zawartego między nimi. Własności iloczynu skalarnego dwóch wektorów. Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. Iloczyn skalarny jest przemienny. Wektor w przestrzeni ma trzy współrzędne. Wszystkie reguły dotyczące działań na wektorach na płaszczyźnie można zastosować do wektorów z przestrzeni.

Zadanie 1

Wektory. Wiedząc, że A(2, 5), B(-3, 4) znajdź współrzędne i długość wektora AB. Rozwiązanie. Skoro A jest początkiem wektora, a B końcem, to zgodnie ze wzorem na znajdowanie współrzędnych, od współrzędnych punktu B odejmujemy współrzędne punktu A po odpowiednich współrzędnych. Długość wektora to pierwiastek z sumy kwadratów współrzędnych tego wektora. Odpowiedź.

Zadanie 2

Wektory. Wiedząc, że... znajdź... Rozwiązanie. Suma wektorów to wektor o współrzędnych będących sumą współrzędnych wektorów składowych. Dlatego należy dodać do siebie odpowiednie współrzędne. W tym przypadku nalezy odpowiednie współrzędne odjąć od siebie. Trzeba po prostu pomnożyć współrzędne wektora. Mnożymy przez siebie odpowiednie współrzędne i wyniki dodajemy. Zauważamy, że... czyli iloczyn skalarny wektorów jest przemienny. Odpowiedź.

Zadanie 3

Wektory. Wiedząc, że... znajdź... Rozwiązanie. W miejsce... podstawiamy odpowiednie współrzędne i po kolei mnożymy te współrzędne przez wskazane liczby, wykonujemy działania. Następnie dodajemy do siebie wszystkie pierwsze współrzędne i potem wszystkie drugie współrzędne. Tak można postąpić niezależnie od liczby wektorów. Odpowiedź.

Zadanie 4

Wektory. Mając dane wektory... oblicz iloczyn skalarny wektorów. Rozwiązanie. Najpierw obliczymy współrzędne wektorów. Wstawiamy współrzędne danych wektorów do wzoru i wykonujemy zaznaczone działania. Dodajemy do siebie pierwsze współrzędne i odpowiednio drugie współrzędne. W podobny sposób znajdujemy współrzędne wektora. Teraz znajdujemy iloczyn skalarny, wykorzystując współrzędne. Posłużymy się wzorem. Odpowiedź.

Zadanie 5

Wektory. Dane są punkty... Dla jakiej wartości a wektory AB i AC są: prostopadłe, przeciwne? Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy współrzędne wektorów AB i AC. Wektory AB i AC mają być prostopadłe, czyli (zgodnie z własnością podaną we wstępie) ich iloczyn skalarny musi być równy 0. Podstawiamy współrzędne wektorów i korzystamy ze wzoru na iloczyn skalarny. Powstało równanie liniowe, z którego wyliczamy a. Wypisany warunek AB = -AC oznacza, że wektory AB, AC są przeciwne. Współrzędne jednego wektora są liczbami przeciwnymi (np. 5, -5) do współrzędnych drugiego. Porównujemy współrzędne. Korzystamy z faktu, że współrzędne wektorów równych są równe. Nie jest możliwe, by a było równocześnie równe 0 i 6. Otrzymujemy uklad sprzeczny. Wniosek: Nie ma takiego a, dla którego AB, AC byłyby przeciwne.

Odpowiedź:

Wektory te są prostopadłe dla a = 4.

Nie są przeciwne dla żadnej liczby a.

Zadanie 6

Wektory. Dane są wektory... Oblicz długość wektora. Rozwiązanie. Najpierw znajdujemy współrzędne wektora x. Wektory dane w zadaniu mają trzy współrzędne. Są to wektory w przestrzeni. Przy wykonywaniu podstawowych działań na takich wektorach obowiązują takie same zasady, jak przy działaniach na płaszczyźnie. Wstawiamy współrzędne do wzoru i wykonujemy działania. Długość jest pierwiastkiem sumy kwadratów jego współrzędnych. Odpowiedź.

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Wektory - wprowadzenie