Wybierz dział

Monotoniczność ciągu liczbowego

Monotoniczność ciągów - przykładowe zadania

Zadanie 1

Wykaż, że ciąg an = n jest rosnący.

Rozwiązanie:

Najpierw należy utworzyć wyraz następny danego ciągu, tzn. an+1. Aby ten wyraz uzyskać, trzeba w miejsce n wstawić n + 1, czyli

Monotoniczność ciągu liczbowego. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica... dla każdego...

Zadanie 2

Monotoniczność ciągu liczbowego. Wykaż, że ciąg... jest rosnący. Rozwiązanie. Najpierw tworzymy wyraz następny, wstawiając w miejsce n wyrażenie... Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica... Ponieważ 1 jest liczbą większą od zera, zatem ciąg jest rosnący.

Zadanie 3

Wykaż, że ciąg bn = n2 jest ciągiem rosnącym.

Rozwiązanie:

Monotoniczność ciągu liczbowego. Najpierw tworzymy wyraz następny jak w poprzednim zadaniu. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica... Podnosimy do kwadratu, korzystając ze wzoru...

Zauważamy, że 2n + 1 jest sumą zawsze dodatnią, ponieważ n > 0 jest liczbą naturalną (większą od zera), zatem ciąg bn jest rosnący.

Zadanie 4

Monotoniczność ciągu liczbowego. Wykaż, że ciąg... jest rosnący. Najpierw tworzymy wyraz następny, wstawiając w miejsce n wyrażenie n + 1. Opuszczamy nawias, redukujemy wyrazy podobne. Teraz korzystamy z definicji ciągu rosnącego. Ciąg jest rosnący, gdy różnica... Sprowadzamy do wspólnego mianownika. Wykonujemy wszystkie działania, mnożąc i redukując wyrazy podobne.

Zauważamy, że otrzymany iloraz jest dodatni, ponieważ 5 jest dodatnie i n jest liczbą naturalną (dodatnią), zatem n + 3 jest większe od zera i n + 2 jest większe od zera.

Odpowiedź

Ciąg (un) jest rosnący.

Zadanie 5

Wykaż, że ciąg an = 20 - n jest malejący.

Rozwiązanie:

Monotoniczność ciągu liczbowego. Najpierw znajdujemy następny wyraz ciągu. Teraz korzystamy z definicji ciągu malejącego. Ciąg ten jest malejący, gdy różnica... Redukujemy wyrazy podobne. Odpowiedź. Różnica jest ujemna, zatem ciąg jest malejący, co zapisujemy krótko...

Zadanie 6

Monotoniczność ciągu liczbowego. Zbadaj monotoniczność ciągu... Aby stwierdzić, czy ciąg jest rosnący czy malejący, trzeba utworzyć różnicę, a następnie zbadać jej znak. Najpierw tworzymy wyraz... Teraz zapisujemy różnicę. W miejsce n wstawiamy n + 1 i wykonujemy redukcję wyrazów podobnych. W miejsce... wstawiamy wyliczone wyrażenie. Wykonujemy zaznaczone działania. Sprowadzamy do wspólnego mianownika i w liczniku nowego ułamka redukujemy wyrazy podobne.

Wystarczy teraz stwierdzić, że licznik otrzymanego ułamka jest dodatni, mianownik również (n jest liczbą naturalną większą od zera), czyli cały ułamek jest dodatni. Oznacza to, że an+1 - an > 0

Odpowiedź

Ciąg (an) jest rosnący.

Pogłębiaj wiedzę w temacie: Monotoniczność ciągu liczbowego

Ciekawostki (0)

Zabłyśnij i pokaż wszystkim, że znasz interesujący szczegół, ciekawy fakt dotyczący tego tematu.