Rozwiązywanie układów równań

Metoda podstawiania

Przykład 1

Rozwiąż układ równań:

Metoda podstawiania. Z I równania wyznaczam niewiadomą x, II równanie przepisuję. I równanie przepisujęl wyrażenie 5 - y podstawiam do II równania w miejsce niewiadomej x. Pierwsze równanie przepisuję bez zmian. Zauważ, że w II równaniu występuje jedna niewiadoma y. Rozwiązuję to równanie. Liczbę 2 podstawiam do I równania w miejsce niewiadomej y i wykonuję obliczenia. Rozwiązaniem układu jest para liczb (3, 2). Uwaga na kolejność liczb: zawsze pierwsza liczba to x, a druga to y.

Sprawdzenie:

Metoda podstawiania. Podstawiam do I i II równania w miejsce x liczbę 3, a w miejsce y liczbę 2. Sprawdzam, czy zachodzą równości. Obie równości są prawdziwe, a zatem para liczb x = 3 i y = 2 jest rozwiązaniem układu

Jak się rozwiązuje układy równań metodą podstawiania:

1) Z dowolnego równania wyznaczam jedną niewiadomą.

2) Tak wyznaczoną wartość niewiadomej podstawiam do drugiego równania (otrzymuję równanie z jedną niewiadomą).

3) Rozwiązuję równanie z jedną niewiadomą.

4) Podaję rozwiązanie układu.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań:

Metoda podstawiania. Z I równania wyznaczam x. II równanie przepisuję. I równanie przepisuję. Do II równania w miejsce x podstawiam wyrażenie: 3 + 3y. Rozwiązuję otrzymane równanie. Do I równania w miejsce y podstawiam liczbę 1 i wykonuję obliczenia. Obliczam wartość x. Para liczb x = 6 i y = 1 jest rozwiązaniem tego układu równań.

Sprawdzenie:

Metoda podstawiania. Podstawiam do I i II równania za x liczbę 6, za y liczbę 1. Sprawdzam, czy zachodzą równości. Obie równości są prawdziwe, zatem para liczb (6, 1) jest rozwiązaniem tego układu równań.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań:

Metoda podstawiania. Najłatwiej jest z I równania wyznaczyć y. Do II równania w miejsce y podstawiam wyrażenie 9 - 3x. Rozwiązuje II równanie. Obliczyłam wartość x, teraz podstawiam do I równania w miejsce x liczbę 2 i obliczam niewiadomą y. Przestawiam równania tak, aby pierwsze równanie było x = 2. Rozwiązaniem układu jest para liczb x = 2 i y = 3.

Przykład 4

Metoda podstawiania. Warto obie strony I równania podzielić przez 3; II równanie przepisuję bez zmian. Wyznaczmy z II równania x, I równanie przepiszmy. Do I równania w miejsce x podstawiam wyrażenie: -9,5 - 5y. Rozwiązuję I równanie do momentu obliczenia wartości y. Obliczyłam wartość y, teraz podstawiam do równania x = -9,5 - 5y w miejsce y liczbę -2. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (1/2, -2).

Sprawdzenie:

Metoda podstawiania. Do obu równań podstawiam zamiast x liczbę 1/2, zamiast y liczbę (-2). Obie równości są prawdziwe, więc para liczb (1/2, -2) spełnia układ równań.

Zadanie 1

Rozwiąż układy równań metodą podstawiania:

Rozwiązanie

Metoda podstawiania. Z I równania wyznaczam x. Każdy wyraz lewej i prawej strony równania dzielę przez 2, czyli... Tak wyznaczone x podstawiam do II równania. Obliczoną wartość y podstawiam do I równania. Rozwiązaniem ukadu jest para liczb (1/2, -3/4). Do pierwszego równania w miejsce y pdostawiam 2x (bo y = 2x - II równanie). Rozwiązuję równanie z jedną niewiadomą. Do II równania w miejsce x podstawiam liczbę 2. Rozwiązaniem układu jest para liczb (2, 4). I równanie doprowadzam do prostszej postaci; II równanie przepisuję bez zmian. Zauważ, że obie strony I równania można podzielić przez 2 (zmniejszamy w ten sposób współczynniki liczbowe, upraszczamy rachunki). Z II równania wyznaczam x. Do I równania podstawiam w miejsce x wyrażenie: 4 + 2y. Rozwiązuję I równanie do momentu wyznaczenia y. Do II równania podstawiam w miejsce y liczbę (-2) i wykonuję obliczenia.

Metoda przeciwnych współczynników

Przykład 1

Sprawdzenie:

Metoda przeciwnych współczynników. Podstawiam do obu równań w miejsce x liczbę 10, a w miejsce y liczbę 1. Obie równości są prawdziwe, a zatem para liczb (10, 1) jest rozwiązaniem układu.

Jak postępujemy przy rozwiązywaniu układów równań metodą przeciwnych współczynników:

1) Równania przekształcamy tak, aby współczynniki przy tej samej niewiadomej były liczbami przeciwnymi.

2) Dodajemy lewe i prawe strony równań układu (otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą).

3) Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą.

4) Tworzymy ponownie układ równań, dopisując jako drugie równanie, dowolnie wybrane równanie układu.

5) Teraz, stosując metodę podstawiania, rozwiązujemy równanie.

6) Podajemy rozwiązanie układu.

Przykład 2

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników:

Metoda przeciwnych współczynników. Przy niewiadomej x są liczby przeciwne, dodajemy równania stronami. Lewe strony, prawe strony. Tworzymy ponownie układ równań, dopisując jako drugie równanie, dowolnie wybrane równanie układu. Teraz do II równania w miejsce y podstawiam liczbę 1. Rozwiązuję II równanie. Rozwiązaniem układu jest para lizcb (2, 1).

Sprawdzenie:

Metoda przeciwnych współczynników. Do obu równań w miejsce x podstawiam liczbę 2, a w miejsce y liczbę 1. Sprawdzam, czy zachodzą równości. Obie równości są prawdziwe, zatem para liczb x = 2 i y = 1 jest rozwiązaniem tego układu.

Przykład 3

Rozwiąż układ równań:

Metoda przeciwnych współczynników. W praktyce rzadko zdarza się, aby współczynniki przy tej samej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Do takiej sytuacji można dosyć łatwo doprowadzić. W tym celu obie strony I równania mnożymy przez 2. Przy niewiadomej y są liczby przeciwne, możemy dodawać stronami. Rozwiązuję otrzymane równanie. Do równania x = 3 dopisuję drugie dowolnie wybrane równanie układu, np. x + 2y = 7. Do II równania w miejsce x podstawiam liczbę 3 i rozwiązuję otrzymane równanie. Para liczb (3, 2) jest rozwiązaniem tego układu.

Sprawdzenie:

Metoda przeciwnych współczynników. Do obu równań podstawiam w miejsce x liczbę 3, a w miejsce y liczbę 2. Sprawdzam, czy zachodzą równości. Otrzymałam równości prawdziwe, a zatem para liczb x = i y = 2 jest rozwiązaniem układu.

Przykład 4

Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników

Metoda przeciwnych współczynników. Obie strony I równania mnożę przez 2. Przy niewiadomej y otrzymam liczby przeciwne. Drugie równanie przepisuję bez zmian. Oba równania dodaję stronami (w ten sposób eliminuję niewiadomą y). Rozwiązuję otrzymane równanie. Skracam ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 7. Tworzę nowy układ równań, którego jedynym równaniem jest obliczona wartość x, a drugim dowolne równanie układu. Do II równania za x podstawiam liczbę 2/3 i rozwiązuję otrzymane równanie. (-) : (-) = (+) Para liczb (2/3, 1 1/2) jest rozwiązaniem układu.

Sprawdzenie:

Metoda przeciwnych współczynników. W miejsce x wstawiam liczbę 2/3, a w miejsce y liczbę 3/2. Sprawdzam, czy zachodzą równości. Otrzymaliśmy równości prawdziwe, a więc para liczb (2/3, 1 1/2) jest rozwiązaniem tego układu.

Zadanie 2

Rozwiąż układy równań metodą przeciwnych współczynników:

Rozwiązanie

Metoda przeciwnych współczynników. Obie strony drugiego równania mnożę przez (-1). Przy niewiadomej x otrzymam liczby przeciwne. Równania dodaję stronami. Tworzę nowy układ równań, dopisując do równania x = 1/6 dowolne równanie układu. Do II równania za y podstawiam liczbę 1/6. Rozwiązuję równanie. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb. Pierwsze równanie układu doprowadzamy do prostszej postaci. Drugie przepisujemy bez zmian. Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a wiadome na prawą (uważaj na znaki przy przenoszeniu). Dodajemy równania stronami (przy niewiadomej y są liczby przeciwne: -1 i 1). Tworzymy nowy układ równań, dopisując drugie równanie. Do II równania za x podstawiam liczbę (-1). para liczb (-1, 3) jest rozwiązaniem tego układu. Zauważ, że jeżeli obie strony I równania podzielę przez (-4), to przy niewiadomej x otrzymam liczby przeciwne. Dodaję równania stronami. Rozwiązuję równanie. Do równania y = 4 dopisuję drugie, dowolnie wybrane równanie układu, np. 2x = 3y - 18. Za y do II równania podstawiam liczbę 4. Para liczb (-3, 4) spełnia ten układ równań.

Zadanie 3

Rozwiąż układy równań dowolną metodą:

Rozwiązanie

Metoda przeciwnych współczynników. W celu pozbycia się ułamków obie strony każdego z równań mnożę przez wspólny mianownik. Wybieram metodę przeciwnych współczynników. Rozwiązaniem układu jest para liczb (4, 4). Drugie równanie doprowadzam do prostszej postaci. Stosuję wzory skróconego mnożenia. Niewiadome przenoszę na lewą stronę równania, a liczby na prawą (uważaj na znaki przy przenoszeniu). Myślę, że metoda przeciwnych współczynników będzie łatwiejsza. Dopisuję drugie równanie (dowolnie wybrane z układu).

Odp.:

Para liczb (1, 4) jest rozwiązaniem tego układu.

Metoda przeciwnych współczynników. I równanie doprowadzam do prostszej postaci, stosując wzory. Wygodnie jest rozwiązać ten układ metodą przeciwnych współczynników. Rozwiązaniem układu jest para liczb (1/4, -1/4). Oba równania doprowadzamy do prostszej postaci, w tym celu obie strony I równania mnożymy przez wspólny mianownik, czyli 4, a drugiego przez 6. Niewiadome przenosimy na lewą stronę, a liczby na prawą (przy przenoszeniu zmieniamy znak na przeciwny). Znowu metoda przeciwnych współczynników wydaje mi się mniej pracochłonna.

Odp.:

Układ równań spełnia para liczb (-13, -10).

Układ równań, którego rozwiązaniem jest jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym lub układem równań niezależnych.

Każdy z rozwiązywanych dotąd układów miał jedno rozwiązanie. Nie zawsze tak jest.

Przykład 1

Metoda przeciwnych współczynników. Sprzeczność, bo 0 != 3.

Takiego układu równań nie spełnia żadna para liczb. Jest to układ sprzeczny, nie ma rozwiązania.

Przykład 2

Metoda przeciwnych współczynników. Otrzymaliśmy dwa jednakowe równania. Rozwiążmy ten układ metodą przeciwnych współczynników. Tożsamość.

Rozwiązaniem takiego układu równań jest nieskończenie wiele par liczb.

Układ równań, ktory posiada nieskończenie wiele rozwiązań, nazywamy układem nieoznaczonym lub układem równań zależnych.

Znajdźmy kilka par liczb, które spełniają ten układ równań. W tym celu zajmijmy się tylko jednym równaniem: x - y = 2, ponieważ drugie równanie jest tożsamościowe. W miejsce x podstawmy dowolną liczbę i obliczamy wartość y:

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Rozwiązywanie układów równań