Równania i nierówności

Równania i nierówności

Do rozwiązywania zadań z tego działu potrzebna Ci będzie umiejętność rozwiązywania równań i nierówności z klasy I.

Przykład 1

Rozwiąż równanie:

Równania i nierówności. Niewiadome przenosimy na lewą stronę równania, liczby na prawą, pamiętając, że przenosząc wyrażenie zmieniamy jego znak na przeciwny. Liczba 4 jest rozwiązaniem równania (pierwiastkiem równania).

Przykład 2

Równania i nierówności. Doprowadźmy równanie do prostszej postaci, w tym celu każdy wyraz I nawiasu mnożymy przez 8, a II przez 5. Niewiadome przenosimy na lewą stronę, wiadome na prawą (uważaj na znaki). Obie strony równania dzielę przez 3. Liczba 3 jest pierwiastkiem równania.

Zadanie 1

Rozwiąż równania:

Równania i nierówności.

Rozwiązanie

Równania i nierówności. Po lewej stronie równania stosuję wzór. Te wyrażenia, które redukują się do zera, skreślamy (zauważ, że jeżeli x^2 przeniesiesz na lewą stronę, to otrzymasz x^2 - x^2 = 0). Liczba (-1/2) jest rozwiązaniem równania. Po lewej stronie równania stosuję wzór... Niewiadome przenoszę na lewą stronę, a wiadome na prawą (uważaj na znaki). Liczba 1 spełnia równanie. Uważaj! Minus przed wzorem skróconego mnożenia (postaw nawias). Opuszczam nawias, zmieniając znaki na przeciwne. Liczba 5 jest pierwiastkiem równania. Skracam ułamek przez 8. Po lewej stronie równania najpierw potęgowanie, tzn. stosuję wzór... Teraz każdy wyraz z nawiasu mnożę przez 3. Liczba 2 jest rozwiązaniem równania. Po obu stronach równania stosuję wzory skróconego mnożenia. Redukuję wyrazy podobne. Liczba 3 1/2 spełnia równanie.

Zadanie 2

Rozwiąż równania:

Równania i nierówności.

Rozwiązanie

Równania i nierówności. Po prawej stronie równania stosuję wzór... Wygodnie jest opuścić kreskę ułamkową, w tym celu obie strony równania mnożę przez 3. Skracam ułamek przez 2. Liczba 2 8/15 spełnia równanie. Pamiętaj, żeby każdy wyraz po lewej i po prawej stronie równania pomnożyć przez 4. Najpierw potęgowanie po lewej stronie równania. Każdy wyraz z nawiasu mnożę przez 3. Liczba (-1/2) jest rozwiązaniem równania. W licznikach stosuję wzory. W celu pozbycia się różnych mianowników, mnożę obie strony równania przez wspólny mianownik. Uważaj! Minus przed nawiasem. Liczba (-14) jest pierwiastkiem równania.

Zadanie 3

Rozwiąż nierówności i zaznacz zbiory rozwiązań na osi liczbowej:

Równania i nierówności.

Przypominam

Nierówności rozwiązujemy podobnie jak równania, z jednym wyjątkiem: jeżeli obie strony nierówności mnożymy lub dzielimy przez liczbę ujemną, to zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Równania i nierówności. Stosuję wzór... Rozwiązanie nierówności przedstawiam na osi liczbowej. Wszystkie liczby większe od zera spełniają nierówność. Rozwiązanie nierwności przedstawiam na osi liczbowej. Wszystkie liczby większe od zera spełniają nierówność. Obie strony nierówności dzielę przez liczbę ujemną, zmieniam więc znak nierówności na przeciwny. Wszystkie liczby większe od 2/5 spełniają nierówność. Uważaj na wzory! Liczba 6 oraz wszystkie liczby od niej mniejsze spełniają nierówność. Postępujemy podobnie jak w poprzednich przykładach. Uważaj na wzory skróconego mnożenia. Zmieniam znak nierówności. Skracam ułamek i znak minus stawiam przed kreską ułamkową. Nierówność spełnia liczba (-1/2) i wszystkie liczby od niej mniejsze. uważaj na znak nierówności. Rozwiązaniem nierówności są wszystkie liczby większe od 1 1/2 oraz liczba 1 1/2.

Zadanie 4

Rozwiąż nierówności i przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej:

Równania i nierówności.

Rozwiązanie

Równania i nierówności. Obie nierówności mnożę przez mianownik. Stosuję wzór... Zmieniam znak nierówności na przeciwny. Nierówność spełniają wszystkie liczby mniejsze od 1/3 oraz liczba 1/3. Uważaj! Minus przed nawiasem. Nierówność spełnia liczba (-8) i wszystkie liczby mniejsze od niej. Wykonuję mnożenie w liczniku (każdy wyraz I nawiasu mnożę przez każdy wyraz II nawiasu). Redukuję wyrazy podobne w liczniku. Wszystkie liczby mniejsze od 1 2/9 spełniają nierówność. Postępuję podobnie jak w poprzednich przykładach; uważaj, stosując wzory skróconego mnożenia. Wszystkie liczby większe od (-2) spełniają nierówność.

Zadanie 5

Rozwiąż nierówność:

Równania i nierówności.

a) zbiór rozwiązań przedstaw na osi liczbowej

b) podaj wszystkie liczby naturalne, które nie należą do zbioru rozwiązań.

Rozwiązanie

Równania i nierówności. Liczby naturalne to: 0, 1, 2, 3, ... Liczby naturalne, które nie spełniają nierówności to: {0, 1}.

Zadanie 6

Rozwiąż równania:

Równania i nierówności.

Rozwiązanie

Stosując wzory skróconego mnożenia, można rozwiązać niektóre równania kwadratowe (czyli takie, w których niewiadoma występuje w drugiej potędze).

Równania i nierówności. Zauważ po lewej stronie równania wzór skróconego mnożenia, zwińmy ten wzór. Jaka to liczba podniesiona do kwadratu daje w wyniku 0? Oczywiście tylko 0. Więc x - 3 musi być równe 0. Liczba 3 spełnia równanie.

Sprawdzenie:

Równania i nierówności. W miejsce x podstawiam liczbę 3. Podobnie jak w punkcie a) zwijamy wzór skróconego mnożenia. Rozwiązaniem równania jest liczba (-1/2). Lewa strona równania przedstawia iloczyn. Kiedy iloczyn jest równy zero? Gdy jeden z czynników równa się zero. Ten fakt wykorzystujemy do rozwiązywania równania. Równanie ma dwa rozwiązania.

Sprawdzenie:

Równania i nierówności. W miejsce x podstawiam liczbę 0. W miejsce x podstawiam liczbę 2.