Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30°

Trójkąt o kątach 90°, 45°, 45°

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. d - długość przekątnej kwadratu o boku długości a. Trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a. W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość...

Trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a.

Zauważ, że przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta 30°, równa jest połowie długości przeciwprostokątnej. Pamiętaj!

Ważne!

Zapamiętaj te dwa trójkąty!

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni.

Zwróć uwagę, że w trójkątach o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30° wystarczy znać długość jednego boku, aby obliczyć długość dwóch pozostałych.

Zadanie 1

Oblicz długości pozostałych boków trójkąta:

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Bok, którego długość znam, oznaczam literą a, boki szukane literami x i y. Do obliczenia długości boków x i y korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. W zadaniu dana jest przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30 stopni. Wiemy, że naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. Zatem przeciwprostokątna y ma długość: 2 x 2 = 4. Przyprostokątna x ma długość... Odp. Pozostałe boki mają dlugości... To jest trójkąt prostokątny równoramienny (poznajemy po kątach: dwa kąty równej miary). Oznaczmy literą a długości przyprostokątnych (ramiona z trójkąta). Z trójkąta o kątach 90 stopni, 45 stopni, 45 stopni wiemy, że przeciwprostokątna ma długość... Obliczamy długość przeciwprostokątnej a. Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc w tym celu licznik i mianownik przez... Przyprostokątne mają długość... Oznaczam boki trójkąta literami a, b, c. Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Zatem drugi kąt ostry ma miarę: 90 stopni - 30 stopni = 60 stopni. Do znalezienia pozostałych boków trójkąta korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnej, leżącej naprzeciw kąta 30 stopni. Długość przyprostokątnej b obliczam, stosując tw. Pitagorasa. Wybieram dodatnie rozwiązanie równania b2 = 36 (bo b to długość odcinka). II sposób obliczenia długości przyprostokątnej b. Wynika to z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. W miejsce a podstawiam ... (to jest dane w zadaniu). Boki trójkąta mają długość... Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Zatem drugi kąt ostry ma miarę 90 stopni - 45 stopni = 45 stopni. Z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny (bo dwa kąty są równe). Boki trójkąta oznaczam: a, a, c. Do obliczenia długości przeciwprostokątnej c korzystam z trójkąta... Boki trójkąta mają długość 3 oraz... Drugi kąt ostry trójkąta ma miarę: 90 stopni - 60 stopni = 30 stopni. Do obliczenia długości boków korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Zauważ, że naprzeciw kąta 60 stopni leży przyprostokątna o długości... Usuwam niewymierność z mianownika. Długość krótszej przyprostokątnej. Długość przeciwprostokątnej. Szukane długości boków wynoszą...

Zadanie 2

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego, którego obwód wynosi 24 cm.

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Korzystam ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku a. W miejsce a podstawiam liczbę 8. II sposób - stosując twierdzenie Pitagorasa. Wysokość trójkąta ma długość...

Zadanie 3

Oblicz pole i obwód prostokąta przedstawionego na rysunku:

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Drugi kąt ostry w trójkącie prostokątnym wynosi 60 stopni, bo suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Aby obliczyć długość boku x korzystam z własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Rozpatrujemy trójkąt. Naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej. Z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Pole prostokąta o bokach długości x, y. Do wzoru na pole podstawiam długości boków prostokąta. Obwód prostokąta o bokach x, y. Liczbę 12 wyłączam przed nawias jako wspólny czynnik. Pole prostokąta wynosi ..., a obwód...

Zadanie 4

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C ma 90°, a przy wierzchołku A ma 60°. Oblicz kąty i obwód tego trójkąta, jeżeli bok BC ma długość 9 cm.

Rozwiązanie