Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30°

Trójkąt o kątach 90°, 45°, 45°

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. d - długość przekątnej kwadratu o boku długości a. Trójkąt ten jest połową kwadratu o boku a. W trójkącie prostokątnym równoramiennym o przyprostokątnych długości a, przeciwprostokątna ma długość...

Trójkąt o kątach 90°, 60°, 30°

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Trójkąt ten jest połową trójkąta równobocznego o boku 2a.

Zauważ, że przyprostokątna, leżąca naprzeciw kąta 30°, równa jest połowie długości przeciwprostokątnej. Pamiętaj!

Ważne!

Zapamiętaj te dwa trójkąty!

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni.

Zwróć uwagę, że w trójkątach o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30° wystarczy znać długość jednego boku, aby obliczyć długość dwóch pozostałych.

Zadanie 1

Oblicz długości pozostałych boków trójkąta:

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Bok, którego długość znam, oznaczam literą a, boki szukane literami x i y. Do obliczenia długości boków x i y korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. W zadaniu dana jest przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta 30 stopni. Wiemy, że naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. Zatem przeciwprostokątna y ma długość: 2 x 2 = 4. Przyprostokątna x ma długość... Odp. Pozostałe boki mają dlugości... To jest trójkąt prostokątny równoramienny (poznajemy po kątach: dwa kąty równej miary). Oznaczmy literą a długości przyprostokątnych (ramiona z trójkąta). Z trójkąta o kątach 90 stopni, 45 stopni, 45 stopni wiemy, że przeciwprostokątna ma długość... Obliczamy długość przeciwprostokątnej a. Usuwamy niewymierność z mianownika, mnożąc w tym celu licznik i mianownik przez... Przyprostokątne mają długość... Oznaczam boki trójkąta literami a, b, c. Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Zatem drugi kąt ostry ma miarę: 90 stopni - 30 stopni = 60 stopni. Do znalezienia pozostałych boków trójkąta korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Przeciwprostokątna jest 2 razy dłuższa od przyprostokątnej, leżącej naprzeciw kąta 30 stopni. Długość przyprostokątnej b obliczam, stosując tw. Pitagorasa. Wybieram dodatnie rozwiązanie równania b2 = 36 (bo b to długość odcinka). II sposób obliczenia długości przyprostokątnej b. Wynika to z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. W miejsce a podstawiam ... (to jest dane w zadaniu). Boki trójkąta mają długość... Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Zatem drugi kąt ostry ma miarę 90 stopni - 45 stopni = 45 stopni. Z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny równoramienny (bo dwa kąty są równe). Boki trójkąta oznaczam: a, a, c. Do obliczenia długości przeciwprostokątnej c korzystam z trójkąta... Boki trójkąta mają długość 3 oraz... Drugi kąt ostry trójkąta ma miarę: 90 stopni - 60 stopni = 30 stopni. Do obliczenia długości boków korzystam z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Zauważ, że naprzeciw kąta 60 stopni leży przyprostokątna o długości... Usuwam niewymierność z mianownika. Długość krótszej przyprostokątnej. Długość przeciwprostokątnej. Szukane długości boków wynoszą...

Zadanie 2

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego, którego obwód wynosi 24 cm.

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Korzystam ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego o boku a. W miejsce a podstawiam liczbę 8. II sposób - stosując twierdzenie Pitagorasa. Wysokość trójkąta ma długość...

Zadanie 3

Oblicz pole i obwód prostokąta przedstawionego na rysunku:

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Drugi kąt ostry w trójkącie prostokątnym wynosi 60 stopni, bo suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Aby obliczyć długość boku x korzystam z własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Rozpatrujemy trójkąt. Naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna dwukrotnie krótsza od przeciwprostokątnej. Z trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Pole prostokąta o bokach długości x, y. Do wzoru na pole podstawiam długości boków prostokąta. Obwód prostokąta o bokach x, y. Liczbę 12 wyłączam przed nawias jako wspólny czynnik. Pole prostokąta wynosi ..., a obwód...

Zadanie 4

W trójkącie prostokątnym ABC kąt przy wierzchołku C ma 90°, a przy wierzchołku A ma 60°. Oblicz kąty i obwód tego trójkąta, jeżeli bok BC ma długość 9 cm.

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Do obliczenia długości boków korzystam z własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Usuawm niewymierność z mianownika. Obwód trójkąta to suma długości jego boków. Wyłączam wspólny czynnik (czyli liczbę 9) przed nawias. Obwód trójkąta wynosi...

Zadanie 5

Oblicz pole trójkąta równobocznego, którego wysokość ma 6 cm.

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. Wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a. Z tego wzoru obliczymy pole, najpierw trzeba znaleźć długość boku trójkąta. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego, podstawiając za h liczbę 6 (dane w zadaniu) obliczymy a. Usuwam niewymierność z mianownika. Obliczyłam długośc boku trójkąta, podstawiam do wzoru na pole. Pole trójkąta wynosi...

Zadanie 6

Oblicz pole trójkąta przedstawionego na rysunku:

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Dane, szukane. |AB| - czytamy: długość odcinka AB. Inny zapis... Aby obliczyć pole trójkąta, należy znaleźć długośc odcinka AB (podstawę trójkąta). Długość odcinka DB obliczamy z trójkąta DBC. Drugi kąt ostry ma miarę 45 stopni, zatem jest to trójkąt prostokątny równoramienny. Długość odcinka AD obliczamyz trójkąta ADC. Kąt przy wierzchołku C ma miarę 60 stopni, bo suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 stopni. Do znalezienia długości odcinka AD wykorzystuję własności trójkąta o kątach 90 stopni, 60 stopni, 30 stopni. Odcinkowi AD odpowiada odcinek... Do wzoru na pole trójkąta podstawiam za podstawę |AB|... za wysokość... Wyłączam wspólny czynnik (liczba 18) przed nawias. Pole trójkąta wynosi...

Zadanie 7

Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego, którego krótsza podstawa ma długość 2 cm, dłuższe ramię ma długość 4 cm, a kąt ostry ma miarę 60°.

Przypomnienie:

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Trapez prostokątny. Ramię, krótsza podstawa, dłuższa podstawa.

Rozwiązanie

Trójkąty o kątach 90, 45, 45 stopni oraz 90, 60, 30 stopni. Wykonuję rysunek pomocniczy, zgodby z treścią zadania. Do obliczenia pola i obwodu trapezu muszę znać długość dłuższej podstawy oraz wysokość trapezu. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta 30 stopni leży przyprostokątna 2 razy krótsza od przeciwprostokątnej. Długość wysokości trapezu obliczę, stosując tw. Pitagorasa w trójkącie prostokątnym. Wybieram dodatnie rozwiązanie równania h2 = 12, bo h to długość odcinka. Obwód trapezu to suma długości wszystkich boków trapezu. Pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h. Obwód trapezu wynosi...

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Trójkąty o kątach 90°, 45°, 45° oraz 90°, 60°, 30°