Równania i nierówności wielomianowe

A) Równania dwukwadratowe

Zadanie 1

Równania i nierówności wielomianowe. Zauważ, że nazwa dwukwadratowe jest uzasadniona. Jedynymi potęgami x są 4 i 2, a przecież 4 = 2^2. Równanie rozwiążemy przeds podstawienie. Niech x2 = t. Zauważ, że... to wynika ze wzoru... Teraz mamy równanie kwadratowe, w którym... Liczymy ... i pierwiastki. Teraz należy wrócić do podstawienia.

Zadanie 2

Równania i nierówności wielomianowe. Najpierw trzeba równanie uporządkować poprzez wykonanie zaznaczonych działań. Przenoszę wszystkie czynniki na lewą stronę, redukuję wyrazy podobne. Powstało równanie kwadratowe, które rozwiązuję przy pomocy... Teraz wracamy do podstawienia.

Zadanie 3

Równania i nierówności wielomianowe. Równanie uporządkuję, pozbywając się ułamków. Otrzymuję równanie kwadratowe, gdzie... Liczę... i pierwiastki. I teraz pułapka! Jeden z pierwiastków jest ujemny... Należy wrócić do podstawienia. Równanie * nie ma rozwiązania w zbiorze liczby rzeczywistych... Równanie ** ma dwa rozwiązania, ponieważ liczba...

Zadanie 4

Równania i nierówności wielomianowe. To równanie jest dwusześcienne, bo x6 = (x3)2 (ze wzoru...). Równanie sprawdzamy do kwadratowego przez podstawienie. Teraz stosuję wzory na... i pierwiastki. Wracamy do podstawienia. I tutaj już nie ma pułapki, bo pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje (w R).

Jak pamiętasz, każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki liniowe lub czynniki stopnia drugiego nierozkładalne. Rozwiązując równanie wielomianowe, najpierw postaramy się rozłożyć na czynniki możliwie najniższego stopnia, czyli liniowe. Mamy kilka sposobów, za pomocą których możemy rozłożyć wielomian na czynniki.

Metody rozkładu wielomianu na czynniki:

B) Równania rozwiązywane przez rozkład na czynniki

Zadanie 5

Równania i nierówności wielomianowe. Zapamietaj sobie jedną, podstawową zasadę: trzeba lewą stronę równania zamienić na iloczyn wyrażeń liniowych, tzn. postaci ax + b, lub kwadratowych nierozkładalnych ax2 + bx + c. Na tym właśnie polega rozkład na czynniki. A teraz rozwiązanie... Z pierwszego i drugiego składnika wyłączam x2 przed nawias. Teraz coś trzeba zrobić z trzecim i czwartym. To coś nie może być przypadkowe, a prowadzące do powstania wspólnego czynnika, który potem wyłączam przed nawias. Powstał wspólny czynnik (x + 1), który wyłączam przed nawias. Zatem mamy równanie... Czynnik można rozłożyć na czynniki liniowe (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia). Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy jeden z nich jest zerem, tzn... Zauważ, że -1 pojawiło się dwa razy, to oznacza, że -1 jest pierwiastkiem podwójnym (to można zapisać...)

Zadanie 6

Równania i nierówności wielomianowe. Rozkładamy na czynniki, grupując wyrazy. Z pierwszego i drugiego wyrazu wyłączymy przed nawias x2, natomiast z trzeciego i czwartego wyrazu wyłączymy -1 przed nawias. Następnie wyłączamy wspólny czynnik (x - 5). Korzystamy ze wzoru... Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy któryś z nich jest zerem.

Zadanie 7

Równania i nierówności wielomianowe. Grupujemy wyrazy. Następnie wyłączam wspólny czynnik przed nawias. Zauważ, że... można rozłożyć na dwa czynniki kwadratowe, korzystając ze wzoru... Znowu pojawił się wspólny czynnik, x2 - 1. Wyłączam go przed nawias. Wykonuję działania w nawiasie kwadratowym i porządkuję trójmian w nawiasie. Iloczyn trzech czynników jest równy zero, gdy któryś z nich jest zerem. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

Zadanie 8

Równania i nierówności wielomianowe. Grupuję wyrazy i wyłączam wspólne czynniki przed nawias. Teraz wyłączam przed nawias wspólny czynnik. Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy jeden z nich jest zerem. Teraz trzeba rozwiązać równanie dwukwadratowe. Powstało równanie kwadratowe, które rozwiązuje się przy pomocy. Wracamy do podstawienia.

Zadanie 9

Równania i nierówności wielomianowe. Rozwiąż równanie... Równanie mamy już pogrupowane, wystarczy wyłączyć 6x2 przed nawias z pierwszego i drugiego czynnika. Wyłączamy czynnik (x - 2) przed całość równania. Iloczyn czynników jest równy zero, jeżeli choć jeden z nich jest równy zero.

Zadanie 10

Rozwiąż równanie 16x⁴ - 1 = 0

Rozwiązanie:

Równania i nierówności wielomianowe. Stosujemy wzór skróconego mnożenia... Brak pierwiastków.

Zadanie 11

Oblicz pierwiastki równania 3(x2 - 4x) - (x2 - 4x) - 10 = 0

Rozwiązanie:

Równania i nierówności wielomianowe. Zauważmy, że w równaniu tym powtarza się czynnik (x2 - 4x), więc zamiast wykonywać żmudne obliczenia podstawmy zmienną pomocniczą. Wówczas otrzymujemy równanie... Obliczamy ... i pierwiastki równania kwadratowego. Wracamy do podstawienia i otrzymujemy... Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

Nierówności wielomianowe - przykładowe zadania

Równania i nierówności wielomianowe. Nierównością algebraiczną (wielomianową) stopnia n jednej zmiennej x nazywamy nierówność postaci...

Zadanie 12

Równania i nierówności wielomianowe. Zauważ, że lewa strona jest rozłożona na czynniki.

Jakie są poszczególne kroki w rozwiązywaniu nierówności?

Równania i nierówności wielomianowe. Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika, zwracając uwagę na tzw. krotność miejsc zerowych. Co to oznacza? Jeśli np. któryś z czynników (całe wyrażenie w nawiasie) jest podniesione do potęgi, to wykładnik tej potęgi jest krotnością, np. gdyby w powyższej nierówności było np. tak... (miejsce zerowe pierwszego czynnika) jest pierwiastkiem dwukrotnym, jest pierwiastkiem trzykrotnym, jest pierwiastkiem jednokrotnym. Krotność ma znaczenie przy rysowaniu wykresu wielomianu, który trzeba narysować w drugim kroku. Rysujemy wykres wielomianu, tzn. rysujemy oś liczbową, na niej zaznaczamy miejsca zerowe wszystkich czynników. Wykres ten zaczynamy rysować z prawej strony od dołu lub od góry. Prawa strona: dół (współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny); góra (współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest dodatni). Jeżeli pierwiastek jest parzystokrotny (2, 4, 6, etc), to wykres nie przecina osi, tylko się od niej w danym punkcie odbija. Jeśli pierwiastek jest nieparzystokrotny (1,3,5,7,9, etc), to wykres przecina oś. Pierwiastek: parzystokrotny, wykres nie przechodzi na drugą stronę osi OX, czyli odbija się od niej; nieparzystokrotny, wykres przechodzi na drugą stronę osi OX.

Rozwiązując nierówność algebraiczną postępujemy bardzo podobnie, jak w przypadku rozwiązywania równań wielomianowych. Najpierw musimy obliczyć pierwiastki tego wielomianu, a następnie rozwiązanie odczytujemy z wykresu wielomianu. Pamiętajmy, że warto, jeżeli się da, rozłożyć wielomian na czynniki, korzystając z jednej z metod podanych wcześniej.

Rozwiązanie nierówności:

Równania i nierówności wielomianowe. Wykres nierówności... Przecinamy oś, bo pierwiastki są jednokrotne. Rysujemy wykres z góry, bo gdyby wymnożyć wyrażenia w nawiasach, otrzymalibyśmy współczynnik dodatni przy najwyższej potędze x3.

Teraz popatrz na znak nierówności. Interesują nas te argumenty x, dla których wyrażenie jest ujemne. Zatem szukamy części wykresu pod osią OX. Te części pogrubiamy, bądź jak wolisz zakreskowujemy w celu wyznaczenia przedziałów.

Równania i nierówności wielomianowe. Znajdujemy dwa przedziały...

Zadanie 13

Równania i nierówności wielomianowe. Aby policzyć pierwiastki tego wielomianu, wystarczy obliczyć równanie... Rysujemy wykres nierówności od góry, ponieważ współczynnik przy najwyższej potędze jest dodatni. Wykres zmienia znak nierówności w każdym z miejsc zerowych (pierwiastki są jednokrotne). Teraz znak nierówności i przedziały. Znajdujemy przedziały...

Zadanie 14

Równania i nierówności wielomianowe. Zauważ, że 3 jest pierwiastkiem trzykrotnym. Rysujemy wykres nierówności z dołu, bo znak współczynnika przy najwyższej potędze jest ujemny. Zaznaczmy część wykresu znajdującą się nad osią OX (ponieważ wartości nierówności muszą być dodatnie). Znajdujemy przedziały...

Zadanie 15

Wyznacz wartości parametru m, dla których iloczyn pierwiastków równania (m - 3)x² + (m + 2)x + 1 = 0 jest mniejszy od 2.

Rozwiązanie:

Równania i nierówności wielomianowe. W tym przypadku mamy do czynienia z równaniem kwadratowym z parametrem. Aby iloczym pierwiastków tego równania był większy od 2, musimy założyć, że istnieją dwa różne pierwiastki. Brak pierwiastków. Korzystamy ze wzorów Viete'a. Iloraz zapisujemy jako iloczyn tych czynników, a następnie rysujemy wykres wielomianu, zaczynając go rysować od dołu, ponieważ znak przy najwyższej potędze zmiennej jest ujemny. Rozwiązaniem zadania będzie część wspólna wszystkich rozwiązanych warunków.

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Równania i nierówności wielomianowe