Twierdzenie Pitagorasa

Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów dwóch boków jest równa kwadratowi trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Wszystkie powyższe twierdzenia służą do rozwiązywania trójkątów.

Zadanie 1

Sprawdź, czy trójkąt o wierzchołkach A(1, 5), B(3, 2), C(-6, -4) jest prostokątny.

Twierdzenie Pitagorasa. W rozwiązaniu zadania skorzystamy z następującego rozumowania: jeśli po obliczeniu długości boków danego trójkąta okaże się, że kwadrat któregoś boku jest równy sumie kwadratów boków pozostałych, to zgodnie z twierdzeniem odwrotnym do tw. Pitagorasa dany trójkąt będzie prostokątny. (rysunek pełni rolę pomocniczą) Najpierw policzymy długości boków trójkąta. Po podniesieniu do kwadratu...

Odpowiedź

Trójkąt jest prostokątny (ma kąt prosty przy wierzchołku B, czyli bok AC jest przeciwprostokątną w tym trójkącie).

Zadanie 2

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a = 5, b = 12. Znajdź długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Twierdzenie Pitagorasa. Sporządzamy rysunek, kąt prosty znajduje się przy górnym wierzchołku trójkąta. Niech c oznacza przeciwprostokątną. Stosujemy wzór na pole trójkąta na dwa sposoby. Szukamy h. Wiemy, że pole dowolnego trójkąta wyraża się wzorem... Dlatego, że na trójkąt można popatrzeć tak... I wtedy a jest podstawą, b jest wysokością. Porównujemy pola, wyliczając wysokość h. Zauważamy, że wystarczy policzyć ci to zakończy zadanie. Korzystamy z tw. Pitagorasa. Podstawiamy wyliczone c do wzoru na h, co kończy rozwiązanie.

Zadanie 3

Trójkąt ABC jest prostokątny o kącie prostym C. Na przedłużeniu przeciwprostokątnej AB odmierzono odcinek BD równy przyprostokątnej BC i punkt D połączono z C. Wyznacz CD, jeśli BC = 7, AC = 24.

Twierdzenie Pitagorasa. Wykonujemy rysunek. Zaznaczamy na nim dane oraz szukany odcinek x = CD. Odcinki DE i EC pełnią rolę pomocniczą (są prostopadłe). Idea rozwiązania jest następująca. Jeśli, korzystając z tw. Pitagorasa, obliczymy AB, to przy pomocy tw. Talesa obliczymy długości odcinków DE i EC. Wówczas, ponownie z tw. Pitagorasa, obliczymy x. Korzystamy z tw. Pitagorasa zastosowanego do trójkąta ABC. Korzystamy z tw. Talesa zastosowanego do następującej sytuacji. Wstawiamy dane z zadania, biorąc pod uwagę fakt, że DA = DB + BA = 7 + 25. Wyliczamy DE. (Nie wykonujemy dalszych rachunków. Jak zobaczymy, ułatwi to rachunki w dalszym ciągu rozwiązania). Korzystamy z tw. Talesa zastosowanego do następującej sytuacji. (Z tego samego powodu co poprzednio nie wykonujemy dalszych rachunków). Korzystamy z tw. Pitagorasa zastosowanego do trójkąta CDE Podstawiamy dane wyliczone wcześniej DE, EC. Korzystamy ze wzoru...

Zadanie 4

Oblicz długości przekątnych rombu o boku długości 15, wiedząc, że stosunek długości przekątnych równa się 3:4.

Twierdzenie Pitagorasa. Romb - równoległobok o równych bokach i o przekątnych, które połowią się pod kątem prostym. x, y oznaczają szukane przekątne. Na rysunku zaznaczone są ich połowy (zgodnie z własnością przekątnych). Budujemy układ równań... Zgodnie z treścią zadania stosunek (iloraz) długości przekątnych równa się 3:4. Stosujemy tw. Pitagorasa do trójkąta ABC. Z powyższych równań powstaje układ. Z pierwszego równania wyliczamy x i wstawiamy do drugiego.

Odpowiedź

Przekątne mają długości x = 18, y = 24.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Twierdzenie Pitagorasa