Przez „zdanie” w logice będziemy rozumieć tylko takie wyrażenie, o którym można orzec, czy jest prawdziwe czy fałszywe (stwierdzić jego wartość logiczną).
Przykład
Każdemu zdaniu logicznemu przypisujemy jedną z dwóch ocen: prawda lub fałsz. Jest to tzw. ocena wartości logicznej zdania. Prawdę oznaczamy cyfrą 1, fałsz - cyfrą 0. Zdania oznaczamy zwykle małymi literami.
Zdanie: „Liczba 2 jest liczbą parzystą.” - jest zdaniem pojedynczym. W tekście matematycznym często występują zdania złożone, np. „2 jest liczbą parzystą i 3 jest liczbą nieparzystą”.
Prawem rachunku zdań lub tautologią nazywamy zdanie zbudowane ze zdań pojedynczych i spójników, które, niezależnie od wartości logicznych tych zdań, jest zawsze zdaniem prawdziwym.
Twierdzenie
Dla dowolnych zdań p, q, r następujące wyrażenia są tautologiami:
Przykład
Rozwiązanie
Dowód przedstawia tabelka:
W ostatniej kolumnie, bez względu na wartość logiczną zdań p i q, zawsze otrzymujemy 1, zatem zdanie to jest prawem rachunku zdań.
Zaprezentowana w przykładzie metoda sprawdzania, czy zdanie jest tautologią, nazywa się metodą zero-jedynkową.
Funkcją zdaniową lub formą zdaniową nazywamy wyrażenie zawierające zmienne. Wyrażenie to staje się zdaniem logicznym, jeśli w miejsce zmiennych podstawimy nazwy odpowiednich przedmiotów. Zbiór wszystkich przedmiotów, które możemy podstawić w miejsce zmiennych do formy zdaniowej, nazywamy dziedziną formy zdaniowej.
Przykład
Dla formy zdaniowej: x - 7 < 5 dziedziną jest R. Wstawiając za x liczbę 3, otrzymujemy -4 < 5 - zdanie logiczne prawdziwe; wstawiając za x liczbę 20, otrzymujemy 13 < 5 - zdanie logiczne fałszywe. Mówimy, że liczba 3 spełnia tę funkcję zdaniową, a liczba 20 jej nie spełnia.
Mówimy, że pewien element spełnia funkcję zdaniową, jeśli po podstawieniu tego elementu do funkcji zdaniowej w miejsce zmiennej, otrzymamy zdanie logiczne prawdziwe.
Przykładami form zdaniowych są równania i nierówności.
Równanie 2x + 7 = 0 jest formą zdaniową jednej zmiennej x, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a elementem spełniającym liczba -3, 5.
Nierówność x2 + y2 ≤ 1 jest formą zdaniową dwóch zmiennych x i y, której dziedziną jest zbiór par (x, y), gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi. Zbiór elementów spełniających tę formę zdaniową przedstawiamy graficznie - parze liczb (x, y) przyporządkowujemy na płaszczyźnie punkt o współrzędnych (x, y):
Przykład
Przykład
Nazwij podane zdania i oceń ich wartość logiczną.
a) Warszawa jest stolicą Polski lub Kraków jest stolicą Polski.
b) Przekątne rombu przecinają się pod kątem ostrym i dzielą się na pół.
c) Jeżeli liczba naturalna 12 jest podzielna przez 6, to jest podzielna przez 5.
d) Równoległobok jest rombem wtedy i tylko wtedy, gdy ma wszystkie boki równe.
Rozwiązanie:
Ad a)
Z uwagi na występujący w zdaniu spójnik logiczny „lub” zdanie jest alternatywą. Pierwszy człon alternatywy jest zdaniem prawdziwym, natomiast drugi jest zdaniem fałszywym. Całe zdanie jest zatem prawdziwe.
Ad b)
W zdaniu występuje spójnik logiczny „i”, zatem jest to koniunkcja. Pierwszy człon koniunkcji jest fałszywy, drugi natomiast jest prawdziwy. Koniunkcja jest fałszywa.
Ad c)
Zdanie jest implikacją z uwagi na zwrot „jeżeli, to”. Jest to implikacja fałszywa, ponieważ fałszywy jest jej następnik, czyli zdanie po słowie „to”.
Ad d)
Jest to równoważność, ponieważ występuje zwrot „wtedy i tylko wtedy”. Oba zdania składowe są prawdziwe, zatem cała równoważność jest prawdziwa.
Rozwiązanie:
Wyznacz zbiór elementów spełniających formę zdaniową:
Rozwiązanie:
W każdym z przykładów należy wyznaczyć dziedzinę podanej formy zdaniowej, następnie znaleźć rozwiązanie równania lub nierówności i sprawdzić, czy należy do dziedziny.
Pogłębiaj wiedzę w temacie: Zdania logiczne. Prawa De Morgana
Ciekawostki (0)
Zabłyśnij i pokaż wszystkim, że znasz interesujący szczegół, ciekawy fakt dotyczący tego tematu.