Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Zadanie 8

Niech kąt β leży w układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Końcowe ramię niech przechodzi przez punkt P(-4, 3). Obliczyć wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych kąta β.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Zaczniemy nasze zadanie od narysowania w układzie współrzędnych kąta B, obieramy punkt P(-4, 3) i prowadzimy przez niego drugie ramię kąta B.

Rozwiązanie:

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Obliczmy długość promienia wodzącego r... Korzystamy ze wzoru na długość odcinka o końcach... Wstawiamy do wzorów za... i otrzymujemy szukane wartości funkcji trygonometrycznych kąta B.

Odpowiedź:

Wartości kąta β nie możemy podać wprost, ale po sprawdzeniu w tablicach matematycznych odczytujemy, że kąt ten ma wartość β ≈ 36°54'.

Zadanie 9

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Skonstruuj kąt o mierze a taki, że sin a = -2/3. Rozważ wszystkie przypadki.

Rozwiązanie:

W rozwiązaniu korzystamy z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. W tym przypadku z definicji sinusa.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Ponieważ ... wstawiamy do tej równości dane i obliczamy wartość x. Otrzymaliśmy zatem dwa punkty, które wyznaczą położenie końcowego ramienia kąta. Rozwiązanie prezentujemy na rysunku.

Zadanie 10

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Wiedząc, że cos a = -1/4 i a jest kątem II ćwiartki, oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Rozwiązanie:

W tym zadaniu i w następnych tego typu należy dążyć do zbudowania układu równań. Układ ten budujemy w oparciu o podstawowe tożsamości trygonometryczne.

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Podnosimy -1/4 do kwadratu i przekształcamy drugie równanie, dzieląc sin a przez -1/4 (czyli mnożąc przez -4). Przenosimy wiadome na prawą stronę. Rozwiązujemy teraz pierwsze równanie, pamiętając, że początkowo ma ono dwa rozwiązania. Jedną z wartości sinusa odrzucamy. Jest nią sin a... Jest tak dlatego, że zgodnie z treścią zadania zajmujemy się tylko kątami II ćwiartki, a w II ćwiartce sinus jest dodatni. Podstawiamy teraz znalezioną wartość sinusa do drugiego równania. Odpowiedź...

Zadanie 11

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Wiedząc, że tg a = 2/3 i a jest kątem III ćwiartki, czyli kąt a... Oblicz pozostałe funkcje kąta a. Rozwiązanie. Budujemy układ równań składający się z jedynki trygonometrycznej i związku między sin a, cos a, tg a. W miejsce tg a podstawiamy 2/3 (zgodnie z danymi z zadania). Pierwsze równanie pozostawiamy bez zmian. W drugim wykonujemy mnożenie na krzyż. Z drugiego równania obliczamy sin a. Teraz w miejsce sin a do pierwszego równania podstawiamy 2/3 cos a. Podnosimy do kwadratu 2/3 cos a i następnie redukujemy wyrazy podobne. Z pierwszego równania wyliczamy cos2a. Rozwiązujemy teraz pierwsze równanie, pamiętając, że początkowo ma ono dwa rozwiązania. Jedno z rozwiązań odrzucamy. Jest nim cos a = ... dlatego, że zgodnie z treścią zadania zajmujemy się kątami III ćwiartki, a w tej ćwiartce cosinus jest ujemny. Znalezioną wartość wstawiamy do drugiego równania, obliczając sin a. Odpowiedź...

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta