Wzory redukcyjne

(wyznaczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego)

Wzory redukcyjne służą do redukowania kąta (argumentu) w funkcjach trygonometrycznych do I ćwiartki.

Ponieważ funkcje trygonometryczne są okresowe, to wystarczy umieć zredukować kąty mniejsze od 2π (360°), np.

sin 750° można zredukować do sin 30° (zostanie to dokładnie wyjaśnione za chwilę).

Co należy zrobić, aby zredukować kąt?

Wzory redukcyjne. Przedstawiamy kąt w w postaci... tak, aby kąt a był ostry. Teraz weźmy np. funkcję sinus i ustalmy: ile wynosi k (czyli jaka liczba stoi przy 90 st.), w której ćwiartce leży końcowe ramię kąta, czy funkcja po zredukowaniu zostanie bez zmian, czy zmieni się na kofunkcję, tzn. sin x - cos x, cos x - sin x, tg x - ctg x, ctg x - tg x. Znak prawej strony. Ile wynosi k? Ćwiartka trzecia. Kofunkcja czy nie? Znak prawej strony - ujemny. 240 stopni należy do przedziału (180 st., 270 st.), dlatego jego końcowe ramię jest w III ćwiartce. k = 2 jest parzyste, zatem funkcja pozostaje niezmieniona. Gdyby k było nieparzyste, wtedy należałoby zmienić funkcję daną na kofunkcję. Ujemny dlatego, że w ćwiartce trzeciej sinus jest ujemny.

A oto inne przykłady i zastosowania wzorów redukcyjnych:

Zadanie 1

Oblicz: cos 315°

Wzory redukcyjne. Rozwiązanie. 315 st. przedstawiamy w postaci... pamiętając, aby kąt a był ostry. k = 3 zatem jest nieparzyste, czyli funkcja cosinus przechodzi w kofunkcję sinus. 315 st. ma końcowe ramię w IV ćwiartce. W czwartej ćwiartce cosinus jest dodatni. Wartość sin 45 st. znajdujemy w tabelce. Odpowiedź.

Zadanie 2

Oblicz: ctg 150°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. 150 st. przedstawiamy w postaci... k = 1 jest nieparzyste, dlatego funkcja cotangens zmienia się w kofunkcję, czyli tangens. 150 st. ma końcowe ramię w II ćwiartce. W II ćwiartce cotangens jest ujemny. Wartość tg 60 st. znajdujemy w tabelce.

Zadanie 3

Oblicz: cos 420°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. 420 st. przedstawiamy w postaci... k = 4 jest parzyste, dlatego funkcja cosinus pozostaje. 420 st. ma końcowe ramię w I ćwiartce. W I ćwiartce cosinus jest dodatni. Wartość cos 60 st. znajdujemy w tabelce.

Zadanie 4

Oblicz: tg 120°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. 120 st. przedstawiamy w postaci... k = 1 jest nieparzyste, dlatego funkcja tangens zmienia się na kofunkcję, czyli cotangens. 120 st. ma końcowe ramię w II ćwiartce. W II ćwiartce tangens jest ujemny. Wartość ctg 30 st. znajdujemy w tabelce.

Zadanie 5

Oblicz: sin 150°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. 150 st. przedstawiamy w postaci... k = jest nieparzyste, dlatego funkcja sinus zmienia się na kofunkcję, czyli cosinus. 150 st. ma końcowe ramię w II ćwiartce. W II ćwiartce sinus jest dodatni. Wartość cos 60 st. znajdujemy w tabelce.

Zadanie 6

Oblicz wartość wyrażenia: 4 · sin 120° · tg 300°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. Aby znaleźć wartość powyższego wyrażenia, trzeba znaleźć osobno wartość sin 120 st. i tg 300 st. 120 st. przedstawiamy w postaci... k = 2 jest parzyste, dlatego funkcja sinus pozostaje bez zmian. 120 st. ma ramię końcowe w II ćwiartce. W II ćwiartce sinus jest dodatni. Wartość sin 60 st. znajdujemy w tabelce. 300 st. przedstawiamy w postaci... k = 3 jest nieparzyste, dlatego funkcja tangens przechodzi w cotangens. 300 st. ma ramię końcowe w IV ćwiartce. W IV ćwiartce tangens jest ujemny. Wartość ctg 30 st. znajdujemy w tabelce. Teraz obliczamy wartość wyrażenia, podstawiając znalezione wartości. Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi -6.

Zadanie 7

Oblicz wartość wyrażenia:

2 · sin 120° - tg 240°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. Aby znaleźć wartość powyższego wyrażenia, trzeba znaleźć osobno wartość sin 120 st. i tg 240 st. Taką wartość uzyskaliśmy w poprzednim zadaniu, dlatego powtarzanie obliczeń jest zbędne. k = 3 jest nieparzyste, dlatego tangens przechodzi w cotangens. 240 st. ma ramię końcowe w III ćwiartce. W III ćwiartce tangens jest dodatni. Wartość ctg 30 st. znajdujemy w tabelce. Teraz obliczamy wartość wyrażenia, podstawiając znalezione wartości. Odpowiedź: Wyrażenie ma wartość 0.

Zadanie 8

Oblicz wartość wyrażenia:

2 sin²225° - ctg 330° · tg 450°

Rozwiązanie:

Wzory redukcyjne. Aby znaleźć wartość powyższego wyrażenia, należy znaleźć osobno wartości: sin 225 st., ctg 330 st., tg 405 st. k = 3 jest nieparzyste, dlatego sinus przechodzi w cosinus. 225 st. ma ramię końcowe w III ćwiartce. W trzeciej ćwiartce sinus jest ujemny. Wartość cos 45 st. znajdujemy w tabelce. k = 4 jest parzyste, zatem cotangens pozostaje bez zmian. 330 st. ma ramię końcowe w IV ćwiartce. W IV ćwiartce cotangens jest ujemny. Wartość ctg 30 st. znajdujemy w tabelce. k = 4 jest parzyste, zatem tangens pozostaje bez zmian. 405 st. ma ramię końcowe w I ćwiartce. W I ćwiartce tangens jest dodatni. Wartość tg 45 st. znajdujemy w tabeli. Teraz podstawiamy znalezione wartości. Odpowiedź: Wyrażenie ma wartość...

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Wzory redukcyjne