Równania i nierówności trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym nazywamy takie równanie, w którym zmienna występuje tylko w wyrażeniu, z którego oblicza się wartości funkcji trygonometrycznych.

Zgodnie z tą definicją przykładami równań trygonometrycznych są:

sin x = 0,5, sin x + cos x = 1, tg²x + cos x = 1

Natomiast równania typu: x + cos x = 0 lub 2x - ctg x + sin x = 1 nie są równaniami trygonometrycznymi.

Rozwiązując równania trygonometryczne, staramy się je doprowadzić do równań elementarnych (tzn. bardzo podstawowych) postaci, np.

sin x = a

RÓWNANIA TRYGONOMETRYCZNE - przykładowe zadania

Zadanie 1

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie: sin x = 1/2. Najpierw spróbujmy rozwiązać równanie sin x = 1/2 graficznie, a następnie przejdźmy do rozwiązania algebraicznego. Ponieważ mamy rozwiązać graficznie równanie sin x = 1/2, to zaczniemy zadanie od narysowania dwóch funkcji: y = sin x oraz y = 1/2, a następnie odczytamy ich punkty przecięcia. Wiemy, że... zatem punkty przecięcia funkcji y = sin x oraz y = 1/2 mają współrzędne... Punktów wspólnych dla tych dwóch funkcji jest nieskończenie wiele, dlatego że dziedziną obu funkcji jest zbiór R i funkcja sin x jest, jak wiemy, funkcją okresową. Nasze równanie sin x = 1/2 w przedziale... ma cztery rozwiązania. Ponieważ okres podstawowy dla funkcji y = sin x wynosi... to wystarczy do dwóch rozwiązań mieszczących się w przedziale... dodać wielokrotności całkowite okresu podstawowego i otrzymamy wówczas wszystkie rozwiązania tego równania. Zatem rozwiązaniem równania sin x = 1/2 są liczby postaci... Wyprowadźmy teraz ogólne wzory na rozwiązywanie tego typu równań trygonometrycznych. Zamieniamy a na wartość sinusa jakiegoś kąta x0, czyli a = sin x0 i wstawiamy do równania (1). Przypadki szczególne. Analogicznie postępujemy dla pozostałych funkcji trygonometrycznych. Rozwiążmy na początek równanie cos x = 1/2 w przedziale... Zacznijmy od rozwiązania graficznego tego równania. Narysujmy dwie funkcje y = cos x oraz y = 1/2 i zaznaczmy na jednym wykresie punkty przecięcia obu tych funkcji. Rozwiązaniem będą te argumenty x, które spełniają jednocześnie obie funkcje, czyli. Bardzo łatwo zauważyć pewną zależność pomiędzy tymi rozwiązaniami. Mianowicie funkcja y = cos x jest parzysta, więc wykres jej funkcji jest symetryczny względem osi OY. Wystarczy znać jedno rozwiązanie, gdyż następne są jego całkowitymi wielokrotnościami oraz liczbami do niego przeciwnymi. Wszystkie rozwiązania równania cos x = 1/2 możemy zapisać za pomocą wzorów... Zapiszmy teraz wzory na rozwiązanie równania ogólnego cos x = a, gdzie... Przypadki szczególne... Postępując analogicznie, możemy wyprowadzić wzory rozwiązań pozostałych funkcji trygonometrycznych. Rozwiązaniem równania tg x = a przy założeniu... są liczby postaci. Natomiast rozwiązaniem równania ctg x = a przy założeniu... są liczby postaci...

Rozwiązując nierówności trygonometryczne, korzystamy z tego, że funkcje trygonometryczne są monotoniczne (rosnące lub malejące) w pewnych przedziałach. Aby rozwiązać nierówności, rysujemy wykres stosownej funkcji w zadanym przedziale i z wykresu odczytujemy rozwiązanie, którym jest przedział lub suma przedziałów.

Zadanie 2

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż nierówność. Rozwiązanie. Dzielimy nierówność stronami przez 2. Nierówność ta jest spełniona dla tych x, dla których wykres funkcji sinus leży poniżej prostej y = 1/2. Należy również wziąć pod uwagę to, że sin x = 1/2. Teraz rysujemy wykres funkcji y = sin x i y = 1/2 w przedziale... Patrzymy teraz na te części wykresu, które leżą poniżej prostej y = 1/2. Z osi OX odczytujemy przedziały spełniające nierówność.

Zadanie 3

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie... Rozwiązanie. W równaniu tym po lewej stronie występuje bardzo typowy wzór na sinus sumy dwóch kątów. Korzystamy zatem z tego wzoru... po to, by doprowadzić równanie do postaci elementarnej, czyli... Następnie szukamy takiego kąta (tym razem wyrażonego w stopniach), którego sinus ma wartość... Kątem tym jest... Znalezioną wartość kąta wstawiamy do wzorów rozwiązań dla sinusa, pamiętając o... Wzory rozwiązań są zapisane trochę inaczej, ale stanowią one dokładny odpowiednik wzorów wyrażeń w mierze łukowej. Potem rozwiązujemy równanie liniowe.

Zadanie 4

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie... Rozwiązanie. W tym równaniu po lewej stronie mamy wzór na cosinus różnicy dwóch kątów. Korzystamy zatem ze wzoru... by doprowadzić równanie do postaci elementarnej, czyli... Następnie szukamy takiego kąta, którego cosinus ma wartość... Jest nim... Wstawiamy znalezioną wartość kąta do wzorów rozwiązań dla cosinusa. Następnie rozwiązujemy dwa równania liniowe, z każdego wyliczając x. Przypominam inny zapis wzorów rozwiązań cosinusa.

Zadanie 5

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie... Rozwiązanie. W równaniu tym po lewej stronie jest wzór Vernera na sumę sinusów. Zastępujemy lewą stronę, korzystając ze wzoru... Zastosowanie tego wzoru pozwoli po lewej stronie uzyskać równanie elementarne. Dalej postępujemy w znany sposób. Szukamy takiego kąta, dla którego cosinus ma wartość... Jest nim kąt... Wstawiamy znaleziony kąt do wzoru rozwiązań dla cosinusa. Następnie rozwiązujemy dwa równania liniowe, z każdego wyliczając x.

Zadanie 6

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie... Rozwiązanie. Zamieniamy 36 st. na radiany, korzystając ze wzoru. Zatem równanie ma postać. Zauważamy teraz, że po lewej stronie jest wzór Vernera na różnicę sinusów, czyli... Stosujemy ten wzór, redukując wyrazy podobne i przekształcając równanie tak, by powstalo równanie elementarne. Otrzymane równanie jest elementarne, szukamy teraz takiej wartości kąta, dla której sinus ma wartość 1/2. W tabelce znajdujemy kąt... a ponieważ sinus jest funkcją nieparzystą, za x0 przyjmujemy... Rozwiązujemy teraz dwa równania liniowe, mnożąc obie strony równości przez 2.

Zadanie 7

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie... Równanie to trochę przypomina równanie wielomianowe. Rozwiązując je, postępujemy tak samo, jak w przypadku tamtych równań, tzn. najpierw przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę. Następnie wyłączamy przed nawias wspólny czynnik i tworzymy iloczyn dwóch wyrażeń. Iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem. Stąd te dwa równania. Teraz rozwiązujemy każde równanie z osobna. Odszukujemy gotowy przepis na rozwiązanie, we wstępie dotyczącym równań. Teraz rozwiązujemy drugie równanie. Równanie sin x = 0 rozwiązujemy zawsze tak samo, korzystając z gotowego wzoru... Jest to równanie elementarne. Szukamy takiej wartości kąta, dla której sinus ma wartość... Znalezioną wartość wpisujemy do wzoru rozwiązań dla sinusa.

Zadanie 8

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie. Szukamy wspólnego czynnika i wyłączamy go przed nawias. Iloczyn jest równy zero wtedy, gdy jeden z czynników jest zerem. Korzystamy z gotowego wzoru. Rozwiązujemy teraz każde równanie osobno. Przypominamy sobie, że funkcja y = sin x przyjmuje wartości w przedziale [-1, 1]] i tylko takie. Stąd wniosek: jeśli w równaniu elementarnym prawa strona jest mniejsza od -1 lub większa od 1, równanie takie nie ma rozwiązania. Zauważamy teraz, że żadne z powyższych równań nie ma rozwiązania, ponieważ w pierwszym prawa strona jest mniejsza od -1, a w drugim prawa strona jest większa od 1.

Zadanie 9

Równania i nierówności trygonometryczne. Rozwiąż równanie. Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę. Chcąc wyłączyć wspólny czynnik przed nawias, musimy skorzystać ze wzoru (podanego we wstępie) sin2x = 2 sin x cos x. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Iloczyn jest równy zero, gdy któryś z czynników jest zerem. Uzyskujemy w ten sposób dwa równania, które trzeba rozwiązać (każde z osobna). Jest to gotowe rozwiązanie, podane we wstępie. Szukamy takiego kąta, dla którego sinus ma wartość... Jest nim kąt... (sinus jest nieparzysty). Teraz rozwiązujemy osobno dwa równania. Korzystamy z gotowego wzoru. Znalezione x0... wpisujemy do wzoru rozwiązań.

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Równania i nierówności trygonometryczne