Graficzna ilustracja układu równań

Przykład 1

Rozwiąż graficznie układ równań:

Graficzna ilustracja układu równań. Każde z równań przekształcam do postaci funkcji liniowej y = ... W jednym układzie współrzędnych rysuję wykresy tych funkcji. W tym celu wyznaczam po 2 punkty należące do każdej z tych prostych. Punkty te wygodnie jest przyjąć (0, b) (1, a + b). Punkty należące do wykresu funkcji... Rysuję wykresy obu tych funkcji i zaznaczam punkt przecięcia tych wykresów. Graficzną ilustracją powyższego układu równań są dwie proste przecinające się w punkcie (2, 0). Odczytuję z wykresu współrzędne punktu P.

Sprawdzenie

Graficzna ilustracja układu równań. Sprawdzam, czy otrzymana para liczb spełnia układ równań. Podstawiam w miejsce x liczbę 2, a w miejsce y liczbę 0.

Odp.: Para liczb x = 2 i y = 0 jest rozwiązaniem układu równań.

Graficzne rozwiązanie układu równań polega na:

- wyznaczeniu z każdego z równań y (czyli doprowadzeniu równania do postaci funkcji liniowej y = ax + b),

- narysowaniu wykresów obu funkcji w jednym układzie współrzędnych,

- odczytaniu jego rozwiązania.

Metoda graficzna rozwiązania układu równań nie zawsze jest skuteczna. Czasem trudno jest z wykresu odczytać rozwiązanie układu (np. proste przecinają się w punkcie o współrzędnych ułamkowych). Może się zdarzyć również, że punkt przecięcia nie mieści się na rysunku. Dlatego najczęściej rozwiązujemy układ równań algebraicznie i graficznie.

Zadanie 1

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

Rozwiązanie:

metoda algebraiczna:

Graficzna ilustracja układu równań. Rozwiązuję metodą przeciwnych współczynników. Algebraiczne rozwiązywanie układów równań zostało dokładnie omówione w kl. II. Para liczb (2, 1) jest rozwiązaniem układu równań.

metoda graficzna

Graficzna ilustracja układu równań. I i II równanie przekształcam do postaci funkcji liniowej y = ... Znajduję 2 punkty, które należą do każdej z tych prostych. Następnie w jednym układzie współrzędnych rysuję wykresy tych funkcji. Proste te przecinają się w punkcie P o współrzędnych (2, 1), który jest rozwiązaniem układu równań.

Sprawdzenie:

Odp.: Para liczb x = 2 i y = 1 jest rozwiązaniem układu równań.

Rozwiązaniem układu równań jest jedna para liczb. Jest to układ oznaczony (układ równań niezależnych).

Wykresem oznaczonego układu równań są dwie proste przecinające się. Współrzędne punktu przecięcia się tych prostych są rozwiązaniem tego układu równań.

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Sprzeczność.

Jest to układ równań sprzecznych (układ sprzeczny). Taki układ równań nie ma rozwiązania. Zbiorem rozwiązań jest zbiór pusty.

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Oba równania przekształcam do postaci y = ... Znajduję po dwa punkty, które należą do każdej z tych prostych. Proste te są prostymi równoległymi i nie mają żadnego punktu wspólnego. Nie ma więc takiego punktu, którego współrzędne spełniałyby jedno i drugie równanie.

Wykresem układu równań sprzecznych są dwie proste równoległe.

Układ ten nie ma rozwiązania.

metoda algebraiczna

Graficzna ilustracja układu równań. Oba równania doprowadzam do prostszej postaci.

Rozwiązaniem tego układu równań jest nieskończenie wiele par liczb.

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Przedstawiamy równania układu w postaci y = ... Otrzymaliśmy dwa jednakowe równania (funkcje). Proste, będące wykresami tych równań, pokrywają się (są identyczne).

Odp.: Współrzędne każdego punktu tej prostej są rozwiązaniem układu równań. (Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.)

Układ równań, który posiada nieskończenie wiele rozwiązań nazywamy układem nieoznaczonym albo układem równań zależnych.

Wykresem nieoznaczonego układu równań są dwie proste pokrywające się.

Zadanie 2

Rozwiązanie:

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Obie strony pierwszego równania mnożę przez 2, rozwiązuję układ metodą przeciwnych współczynników. Oba równania dodaję stronami. Obliczam x. Do drugiego równania w miejsce x podstawiam 1 i obliczam y.

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (1, 3).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Oba równania przekształcam do postaci funkcji liniowej y = ... Pamiętaj o zmianie znaku wyrazu przenoszonego. Równania przedstawiają dwie funkcje liniowe, których wykresami są proste. Punkty, przez które przechodzi wykres funkcji... Sporządzam wykres obu funkcji. Ważne - Zwróć uwagę, że punkt przecięcia wykresów funkcji musi mieć takie same współrzędne, jak rozwiązanie algebraiczne układu równań, tzn. x = 1, y = 3.

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (1, 3).

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Obie strony II równania dzielę przez 2, rozwiązuję układ równań metodą przeciwnych współczynników. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 0).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Wygodnie jest wybrać najprostszą postać II równania (już po przekształceniu). Równania przekształcam do postaci funkcji liniowej y = ... Znajduję po dwa punkty każdej z tych prostych, następnie sporządzam wykresy tych funkcji. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 0). Rozwiązanie algebraiczne. Najpierw oba równania doprowadzam do prostszej postaci, opuszczam nawias i wykonuję wskazane działania. Wygodnie jest układ rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 3).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Oba równania doprowadzam do postaci y = ... Pamiętaj o zmianie znaku wyrazu przenoszonego! Równania przedstawiają dwie funkcje liniowe, teraz należy narysować wykresy tych funkcji. Każdą z tych funkcji zajmujemy się osobno. Wygodnie jest za x podstawić 1 i -1. A zatem wykres funkcji... przechodzi przez punkty... Podobnie jak poprzednio za x wstawiam 1 i -1. Zwróć uwagę, że punkt P ma takie współrzędne jak algebraiczne rozwiązanie układu równań, czyli (2, 3).

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 3).

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Pozbywam się ułamków, w tym celu mnożę obie strony równania przez wspólny mianownik. Dodaję oba równania stronami. Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (4, 2).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Wybieram najprostszą postać układu, taką żeby wygodnie było z obu równań wyznaczyć y. Wyznaczam po dwa punkty należące do każdej prostej. Wykres funkcji przechodzi przez te dwa punkty. Przez te dwa punkty przechodzi wykres funkcji. Sporządzam wykresy obu funkcji i odczytuję z wykresu współrzędne punktu P (przecięcia się prostych).

Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb (4, 2).

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Po lewej stronie I równania stosuję wzór skróconego mnożenia... Po prawej stronie równania wzór... W pierwszym równaniu niewiadome przenoszę na lewą stronę, a wiadome na prawą (pamiętaj o zmianie znaku wyrazu przenoszonego). Rozwiązaniem układu jest para liczb (1, 4).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Wybieram najprostszą do przekształceń postać układu równań. Z obu równań wyznaczam y (pamiętaj o zmianie znaku wyrazu przenoszonego). Wyznaczam po dwa punkty należące do każdej prostej.

Następnie sporządzam wykresy obu funkcji i odczytuję z wykresów współrzędne punktu przecięcia się prostych.

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (1, 4).

rozwiązanie algebraiczne:

Graficzna ilustracja układu równań. Po lewej stronie I równania stosuję wzór... a po prawej stronie... (uważaj! minus przed wzorem, postaw nawias). Układ wygodnie jest rozwiązać metodą przeciwnych współczynników. Rozwiązaniem układu jest para liczb (2, 0).

metoda graficzna:

Graficzna ilustracja układu równań. Z obu równań wyznaczam y. Pamiętaj o zmianie znaku wyrazu przenoszonego. Wyznaczam po dwa punkty należące do każdej z tych prostych.

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 0).

metoda algebraiczna:

Graficzna ilustracja układu równań. W I równaniu stosuję wzory... Rozwiązaniem układu jest para liczb (2, 2).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Z obu równań wyznaczam y. Wyznaczam po dwa punkty należące do każdej z tych prostych. Wygodnie jest za x podstawić -1.

Odp.: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (2, 2).

Zadanie 3

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań:

Oblicz pole trójkąta ograniczonego wykresami tych równań i osią odciętych.

Rozwiązanie:

rozwiązanie algebraiczne układu równań:

Graficzna ilustracja układu równań. Przekształcam oba równania, niewiadome zostawiam po lewej stronie, wiadome przenoszę na prawą stronę. Układ rozwiązuję metodą przeciwnych współczynników.

Odp.: Rozwiązaniem układu jest para liczb (1, -3).

rozwiązanie graficzne:

Graficzna ilustracja układu równań. Oba równania przekształcam do postaci funkcji liniowej y = ... Wyznaczam po dwa punkty należące do każdej z tych prostych. Ponieważ potem będę obliczać pole figury ograniczonej tymi wykresami, wygodnie jest wyznaczyć punkty przecięcia się wykresów tych funkcji z osiami układu współrzędnych. Obliczam miejsce zerowe I funkcji. Punkt przecięcia wykresu funkcji y = -3x - 6 z osią x i z osią y. Punkt przecięcia wykresu funkcji y = -4x + 1 z osią x i z osią y. Po narysowaniu wykresów funkcji zaznaczam trójkąt ABP ograniczony tymi wykresami i osią odciętych, czyli osią x. Długość odcinka AB (podstawa trójkąta). Zauważ, że długość wysokości trójkąta ABP to współrzędna y (rzędna) punktu P, y = -3, ale h = 3, bo to długość odcinka. Pole trójkąta wynosi 2 5/8.

Zadanie 4

Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji y = -2x - 1 i y = -2x -3 oraz oblicz pole figury ograniczonej tymi wykresami i osiami układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Graficzna ilustracja układu równań. Wyznaczam punkty przecięcia się wykresów tych funkcji z osiami układu współrzędnych. -b oznacza, że do wzoru na miejsce zerowe podstawiam liczbę przeciwną do b.

Po narysowaniu wykresów funkcji zaznaczamy figurę ograniczoną tymi wykresami i osiami układu współrzędnych.

Szukaną figurą jest trapez ABCD (AB || CD).

Aby obliczyć pole trapezu, trzeba znać długość podstaw |AB| i |CD| oraz wysokość trapezu.

Długość podstaw łatwo obliczyć (z twierdzenia Pitagorasa dla trójkątów AOB oraz DOC). Natomiast wysokość trapezu byłaby trudna do obliczenia.

Dlatego pole trapezu znajdziemy następująco: od pola trójkąta prostokątnego DOC odejmiemy pole trójkąta prostokątnego AOB. Czyli:

Pamiętamy, że pole trójkąta prostokątnego równe jest połowie iloczynu jego przyprostokątnych.

A zatem:

Graficzna ilustracja układu równań. Odcinki DO i OC to przyprostokątne w trójkącie DOC.

Z rysunku odczytujemy długość przyprostokątnych:

Graficzna ilustracja układu równań. Uważaj przy odczytywaniu! Długości odcinków są liczbami dodatnimi. Odcinki AO i OB to przyprostokątne w trójkącie AOB.

Z rysunku odczytujemy długość przyprostokątnych:

Odp.: Pole trapezu wynosi 2.

Zadanie 5

Jaka jest odległość punktu przecięcia wykresów funkcji y = 3x - 5 i y = -2x + 10 od początku układu współrzędnych?

Rozwiązanie:

W jednym układzie współrzędnych rysujemy wykresy obu funkcji.

Graficzna ilustracja układu równań. Aby znaleźć współrzędne punktu P (przecięcia się wykresów funkcji) należy rozwiązać układ równań. Układ rozwiązuję metodą podstawiania. Do I równania w miejsce y podstawiam z II równania -2x + 10. Współrzędne punktu P = (3, 4).

Odległość punktu P od początku układu współrzędnych równa jest długości odcinka x.

Nietrudno zauważyć, że odcinek x jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym PBO (patrz rysunek).

A zatem długość odcinka x wyznaczymy z twierdzenia Pitagorasa.:

x² = |OB|² + |PB|²

x² = 3² + 4²

x² = 9 + 16

x² = 25

x = 5

Odp.: Odległość punktu P od początku układu współrzędnych wynosi 5.

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Graficzna ilustracja układu równań