Przejdź na stronę główną Interia.pl

Wybierz szkołę

Wybierz dział

Zaproszenie do wspólnej nauki

zaprasza Cię do wspólnej nauki fiszek

Połączenie głosowe
Upewnij się, że masz włączone głośniki i mikrofon
Odrzuć

Kula i sfera

Objętość i pole powierzchni kuli

Objętość kuli wyraża się wzorem:

Objętość i pole powierzchni kuli. r - promień kuli.

Pole powierzchni kuli, czyli pole sfery, wyraża się wzorem:

Objętość i pole powierzchni kuli.

Zadania trudniejsze

Zadanie 1

Oblicz pole powierzchni całkowitej i cosinus kąta pomiędzy sąsiednimi ścianami czworościanu foremnego o boku długości a.

Rozwiązanie:

Objętość i pole powierzchni kuli. W tym zadaniu mamy do czynienia z czworościanem foremnym, czyli takim, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi o boku długości a. Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej tego czworościanu foremnego, wystarczy obliczyć pole jednej ściany będącej trójkątem równobocz nym i pomnożyć przez ilość ścian. Szukany kąt pomiędzy dwoma sąsiednimi ścianami to tak zwany kąt dwuścienny, o którym była mowa na początku tego rozdziału. Do obliczenia cosinusa tego kąta skorzystamy z twierdzenia cosinusów (tw. Carnota). Aby narysować ten kąt, należy poprowadzić dwie wysokości h w ścianach bocznych opuszczone na wspólną krawędź boczną tego czworościanu. Wysokość w trójkącie równobocznym o danym boku a wyrażona jest wzorem... Zatem po podstawieniu otrzymujemy... Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego czworościanu wynosi... natomiast cosinus kąta dwuściennego wynosi..

Zadanie 2

Stożek i walec mają równe tworzące, równe pola powierzchni bocznej i równe objętości. Oblicz cosinus kąta nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

Objętość i pole powierzchni kuli. Porównujemy teraz te objętości i pola powierzchni bocznej zgodnie z tematem zadania, a następnie obliczymy cos... Zauważmy, że możemy natychmiast obliczyć... przekształcając wzór do postaci i wstawiamy wzór... jednocześnie wiemy, że... Mając sinus danego kąta alfa, korzystamy z jedynki trygonometrycznej tego samego kąta a i obliczamy cosinus tego kąta. Jednak odrzucamy wartość ujemną cosinusa, ponieważ kąt a jest kątem ostrym, czyli pochodzi z I ćwiartki układu współrzędnych, gdzie cosinus tego kąta przyjmuje wartości dodatnie (cosinus przyjmuje wartości ujemne w II i III ćwiartce).

Zadanie 3

Objętość i pole powierzchni kuli. Na kuli opisano stożek. Stosunek pola podstawy stożka do pola powierzchni kuli wynosi 3/4. Oblicz miarę kąta przy wierzchołku przekroju osiowego stożka oraz stosunek objętości kuli do objętości stożka. Aby obliczyć miarę kąta alfa, najpierw obliczymy miarę kąta beta. Zauważmy, że... to po podstawieniu za beta 60 st. otrzymujemy alfa 60 st.. Zauważmy jednocześnie, że przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Wiemy również, że w trójkącie równobocznym istnieje zależność pomiędzy jego wysokością a promieniem okręgu wpisanego w ten trójkąt, mianowicie... Korzystamy z faktu, że... Odpowiedź: Miara kąta alfa = 60 st., natomiast stosunek objętości kuli do objętości stożka wynosi...

Pogłębiaj wiedzę w temacie: Kula i sfera

Zobacz podobne opracowania

  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe
  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe
  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe

Ciekawostki (0)

Zabłyśnij i pokaż wszystkim, że znasz interesujący szczegół, ciekawy fakt dotyczący tego tematu.