Okrąg i koło w układzie współrzędnych

Zadanie 1

Który z punktów: A(3, 0), B(4, -1), C(1, 3), D(2, 1), E(-1, -2) należy do okręgu o równaniu x² + y² = 9?

Rozwiązanie:

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Punkt należy do okręgu, gdy jego współrzędne spełniają równanie okręgu. Czy A(3, 0) należy do okręgu? Do równania okręgu w miejsce x wstawiamy 3, w miejsce y wstawiamy 0. Punkt A należy do okręgu. Czy B(4, -1) należy do okręgu? Do równania okręgu w miejsce x wstawiamy 4, w miejsce y wstawiamy -1 i sprawdzamy, czy zachodzi równość. Punkt B nie nalezy do okręgu. Czy C(1,3) należy do okręgu? Uzasadnienie takie jak wyżej. Punkt C nie należy do okręgu. Czy D(2,1) należy do okręgu? Punkt D nie nalezy do okręgu. Czy E(-1,-2) należy do okręgu? Punkt E nie należy do okręgu.

Odpowiedź

Tylko punkt A(3, 0) należy do danego okręgu.

Zadanie 2

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Zbadaj, które z punktów należą do okręgu (lub koła) o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).

Rozwiązanie:

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Równanie okręgu. Najpierw piszemy równanie okręgu o zadanym środku i promieniu, posługując się wzorem... W miejsce a wstawiamy 0, w miejsce b wstawiamy 0, a w miejsce r wstawiamy 2. Nierówność tę otrzymujemy zgodnie ze wzorem. Nierówność opisująca koło. Teraz sprawdzamy po kolei wszystkie punkty. Jeśli (*) będzie prawdziwa, to punkt będzie należał do okręgu. Jeśli (**) będzie prawdziwa, to punkt będzie należał do koła. Jeśli żaden z wymienionych związków nie będzie prawdziwy, to powiemy, że punkt leży poza kołem. Wstawiamy do równania okręgu w miejsce... Czyli punkt A leży poza kołem. Uzasadnienie jak wyżej. Nie jest spełniony żaden ze związków. Czyli punkt B leży poza kołem. Jest spełniona nierówność. Czyli punkt C należy do koła. Jest spełniona nierówność. Czyli punkt D należy do okręgu.

Odpowiedź

Punkty A i B leżą poza kołem, punkt C należy do koła, a D do okręgu.

Zadanie 3

Znajdź środek i promień okręgu o równaniu: x² + y² - 4x + 6y + 5 = 0

Rozwiązanie:

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Znamy równanie okręgu w postaci... Skorzystamy z równania okręgu i porównamy dane równanie z ogólnym. Współczynniki przy odpowiednich wyrazach muszą być równe. Rozwiązujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Pamiętamy, że a i b to współrzędne środka okręgu, r to promień okręgu. Odpowiedź: Dany okrąg ma środek w punkcie S(2, -3) i promień równy...

Zadanie 4

Wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie o wierzchołkach: A(2, 3), B(-1, 4), C(-1, -5).

Rozwiązanie:

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Okrąg jest opisany na trójkącie, czyli wszystkie wierzchołki trójkąta leżą na okręgu. Innymi słowy, spełniają równanie okręgu. Równanie okręgu dane jest w postaci... Wyznacz równanie okręgu oznacza: wyznacz jego środek i promień. Czyli w wypisanym równaniu mamy trzy niewiadome a, b, r. Punkty A, B, C spełniają równanie okręgu, zatem... Do równania... podstawiamy po kolei współrzędne wszystkich punktów (wierzchołków trójkąta) i wykonujemy zaznaczone działania. Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia. Otrzymaliśmy układ trzech równań z trzema niewiadomymi: a, b, r. Wykonujemy działania w tych równaniach. Układ rozwiążemy trochę nietypowo. Zauważmy, że we wszystkich równaniach są składniki: a2, b2, r2. Jeśli odejmiemy równania stronami, kwadraty znikną. Odejmujemy więc pierwsze - drugie i drugie - trzecie. Otrzymujemy układ dwu równań liniowych z dwiema niewiadomymi a, b. Redukujemy i otrzymujemy układ. Wybieramy pierwsze równanie. Teraz podstawiamy obliczone a i b do któregoś z początkowych równań, aby obliczyć r2. W miejsca a wstawiamy 5/6, w miejsce b wstawiamy 1/2. Piszemy równanie okręgu. Odpowiedź: Okrąg opisany na trójkącie ABC ma równanie...

Zadanie 5

Przez punkt A(0, 2) poprowadź styczne do okręgu x² + y² = 1

Rozwiązanie:

Okrąg i koło w układzie współrzędnych. Oznaczamy równanie naszej stycznej przez s. Punkt A należy do stycznej, czyli spełnia równanie prostej s. Do równania prostej wstawiamy współrzędne punktu A(0, 2). Do równania prostej stycznej wstawiamy wyliczone n. Ponieważ trzeba jeszcze wyliczyć m, tworzymy układ równań. Prosta styczna do okręgu i okrąg mają dokładnie jeden punkt wspólny. Zaprojektowany układ musi mieć zatem dokładnie jedno rozwiązanie. Z pierwszego równania wyliczony y wstawiamy do drugiego i wykonujemy zaznaczone działania, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia. Porządkujemy drugie równanie, tworząc równanie kwadratowe z parametrem m. Teraz zajmujemy się tylko drugim równaniem. Równanie kwadratowe musi mieć jedno rozwiązanie. Wtedy cały układ równań też będzie miał jedno rozwiązanie. Równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, wtedy i tylko wtedy, gdy jego... = 0. Otrzymaliśmy dwie wartości m, dlatego zadanie będzie mieć dwa rozwiązania. Znalezione wartości m wstawiamy do równania prostej s. Odpowiedź: Styczne te to proste o równaniach...

Autorzy opracowań: B. Wojnar, B. Włodarczyk, A Sabak, D. Stopka, A Szostak, D. Pietrzyk, A. Popławska, E. Seweryn, M. Zagnińska, J. Paciorek, E. Lis, M. D. Wyrwińska, A Jaszczuk, A Barszcz, A. Żmuda, K. Stypinska, A Radek, J. Fuerst, C. Hadam, I. Kubowia-Bień, M. Dubiel, J. Pabian, M. Lewcun, B. Matoga, A. Nawrot, S. Jaszczuk, A Krzyżek, J. Zastawny, K. Surówka, E. Nowak, P. Czerwiński, G. Matachowska, B. Więsek, Z. Daszczyńska, R. Całka

Zgodnie z regulaminem serwisu www.opracowania.pl, rozpowszechnianie niniejszego materiału w wersji oryginalnej albo w postaci opracowania, utrwalanie lub kopiowanie materiału w celu rozpowszechnienia w szczególności zamieszczanie na innym serwerze, przekazywanie drogą elektroniczną i wykorzystywanie materiału w inny sposób niż dla celów własnej edukacji bez zgody autora jest niedozwolone.

Wybierz treść

Wybierz szkołę

Wybierz przedmiot

Wybierz dział

Opracowania

Okrąg i koło w układzie współrzędnych