Przejdź na stronę główną Interia.pl

Wybierz szkołę

Wybierz dział

Zaproszenie do wspólnej nauki

zaprasza Cię do wspólnej nauki fiszek

Połączenie głosowe
Upewnij się, że masz włączone głośniki i mikrofon
Odrzuć

Stożek obrotowy

Objętość i pole powierzchni stożka

Objętość stożka obrotowego wyrażona jest wzorem:

Objętość i pole powierzchni stożka. Wysokość stożka, pole podstawy stożka.

Pole powierzchni całkowitej stożka opisuje następujący wzór:

Objętość i pole powierzchni stożka. Pole podstawy stożka, pole powierzchni bocznej stożka.

Rozwiążmy teraz kilka przykładowych zadań.

Zadanie 1

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości 4 cm, jeśli wiesz, że kąt rozwarcia w wierzchołku przekroju osiowego stożka ma miarę 60°.

Objętość i pole powierzchni stożka. Do obliczenia pola podstawy potrzebujemy długości promienia podstawy. W tym celu skorzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym OBC. Jednocześnie zauważmy, że przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, zatem odcinek OC = H dzieli kąt alfa na pól. Pole podstawy po obliczeniu ma miarę... Zatem objętość mamy natychmiast, wstawiając dane do wzoru... Teraz obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka. W tym celu musimy obliczyć długość tworzącej l stożka. I sposób. Z tw. Pitagorasa w AOBC otrzymujemy: Do obliczenia pola powierzchni bocznej potrzebujemy długość tworzącej stożka, czyli w naszym przypadku długość odcinka... Skorzystajmy po raz drugi z trójkąta OBC. Długość tworzącej możemy wyznaczyć w dwojaki sposób. Mianowicie korzystając z tw. Pitagorasa lub korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. II sposób. Korzystamy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie OBC. Wstawiając dane do wzoru, obliczamy pole powierzchni bocznej, a następnie pole powierzchni całkowitej mamy natychmiast, sumując pole podstawy i pole powierzchni bocznej. Odpowiedź: Objętość stożka wynosi... natomiast pole powierzchni całkowitej wynosi...

Zadanie 2

Objętość i pole powierzchni stożka. Pole powierzchni bocznej stożka jest równe S, zaś pole powierzchni całkowitej 2/3S. Obliczyć kąt między wysokością a tworzącą stożka. Poszukujemy połowe kąta rozwarcia przy wierzchołku stożka. Znane jest nam pole podstawy i pole powierzchni całkowitej tego stożka, więc skorzystajmy z tych danych. Obliczmy sobie promień podstawy i tworzącą stożka. Otrzymujemy... i wstawiamy do (*); w ten sposób obliczamy l. Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym wyznaczamy sin alfa. Wiemy, że alfa jest połową kąta rozwarcia przy wierzchołku stożka, zatem nie może być kątem rozwartym, stąd założenie, że alfa należy do (0, 90°). Odpowiedź: Miara szukanego kąta pomiędzy wysokością a tworzącą stożka wynosi alfa = 30 st.

Zadanie 3

Objętość i pole powierzchni stożka. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 cm i 12 cm obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej powstałej bryły. Jak łatwo zauważyć, gdy obrócimy trójkąt ABC wokół przeciwprostokątnej AC, to otrzymamy dwa stożki o wspólnej podstawie. Aby obliczyć objętość powstałej bryły, należy obliczyć objętość jednego i drugiego stożka, a następnie objętości te dodać do siebie. Podobnie należy postąpić w przypadku pola powierzchni bocznej. Korzystając z tw. Pitagorasa w AABC otrzymujemy... Zatem otrzymujemy następujący wzór na objętość powstałej bryły... Teraz należy tylko obliczyć promień podstawy r. W tym celu skorzystamy z pola trójkąta ABC, stosując dwa różne wzory... gdzie r jest w tym przypadku wysokością tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C na bok AC. Porównujemy teraz te pola i otrzymujemy r. Wstawiamy teraz wszystkie dane do wzoru (*) na objętość powstałej bryły i otrzymujemy... Chcąc obliczyć pole powierzchni bocznej powstałej bryły, należy postąpić analogicznie jak w przypadku objętości. Odpowiedź: Szukana objętość powstałej bryły z obrotu trójkąta prostokątnego wokół jego przeciwprostokątnej wynosi... natomiast pole powierzchni bocznej wynosi...

Pogłębiaj wiedzę w temacie: Stożek obrotowy

Zobacz podobne opracowania

  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe
  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe
  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe
  • Liceum
  • Matematyka
  • Bryły obrotowe

Ciekawostki (0)

Zabłyśnij i pokaż wszystkim, że znasz interesujący szczegół, ciekawy fakt dotyczący tego tematu.